RAZOES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS

á aprendemos as razões trigonométricas básicas:

sen(A)=ac$\cos (A)=\dfrac{\maroonC b}{\purpleC c}$$\tan (A)=\dfrac{\blueD a}{\maroonC b}$$A$$C$$B$$\maroonC{b}$$\blueD{a}$$\purpleC{c}$

Mas existem mais três razões que devemos levar em conta:

• Em vez de $\dfrac{\blueD a}{\purpleC c}$start fraction, start color blueD, a, end color blueD, divided by, start color purpleC, c, end color purpleC, end fraction, podemos considerar $\dfrac{\purpleC c}{\blueD a}$start fraction, start color purpleC, c, end color purpleC, divided by, start color blueD, a, end color blueD, end fraction.
• Em vez de $\dfrac{\maroonC b}{\purpleC c}$start fraction, start color maroonC, b, end color maroonC, divided by, start color purpleC, c, end color purpleC, end fraction, podemos considerar $\dfrac{\purpleC c}{\maroonC b}$start fraction, start color purpleC, c, end color purpleC, divided by, start color maroonC, b, end color maroonC, end fraction.
• Em vez de $\dfrac{\blueD a}{\maroonC b}$start fraction, start color blueD, a, end color blueD, divided by, start color maroonC, b, end color maroonC, end fraction, podemos considerar $\dfrac{\maroonC b}{\blueD a}$start fraction, start color maroonC, b, end color maroonC, divided by, start color blueD, a, end color blueD, end fraction.

Essas novas razões são as razões trigonométricas inversas, e vamos aprender seus nomes.

A cossecante (cossec)

A cossecante é a inversa do seno. Ele é a razão entre a hipotenusa e o lado oposto a um dado ângulo em um triângulo retângulo.

$A$$C$$B$${\blueD{a}}$$\purpleC{c}$

sen(A)=cateto opostohipotenusa=ac

cossec(A)=hipotenusacateto oposto=ca

A secante $(\sec)$

A secante é a inversa do cosseno. Ele é a razão entre a hipotenusa e o lado adjacente a um dado ângulo em um triângulo retângulo.

$A$$C$$B$$\maroonC{b}$$\purpleC{c}$

$\cos (A)=\dfrac{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}=\dfrac{\maroonC b}{\purpleC c}$cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color maroonC, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color maroonC, divided by, start color purpleC, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction, equals, start fraction, start color maroonC, b, end color maroonC, divided by, start color purpleC, c, end color purpleC, end fraction

$\sec (A)=\dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}=\dfrac{\purpleC c}{\maroonC b}$

A cotangente (cotg)

A cotangente é a inversa da tangente. Ela é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto em um triângulo retângulo.

$A$$C$$B$$\maroonC{b}$${\blueD{a}}$

$\tan (A)=\dfrac{\blueD{\text{cateto oposto}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}=\dfrac{\blueD a}{\maroonC b}$tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color blueD, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color blueD, divided by, start color maroonC, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color maroonC, end fraction, equals, start fraction, start color blueD, a, end color blueD, divided by, start color maroonC, b, end color maroonC, end fraction

cotg(A)=cateto adjacentecateto oposto=ba

Como as pessoas se lembram dessas coisas?

Para a maioria das pessoas, é mais fácil lembrar dessas novas razões relacionando-as às suas inversas. A tabela abaixo resume essas relações.

	Descrição verbal	Relação matemática
cossecante	A cossecante é a inversa do seno.	cossec(A)=1sen(A)
secante	A secante é a inversa do cosseno.	$\sec(A)=\dfrac{1}{\cos(A)}$
cotangente	A cotangente é a inversa da tangente.	cotg(A)=1tan(A)

Como encontrar razões trigonométricas recíprocas

Vamos analisar um exemplo.

Calcule a cossec(C), a $\sec(C)$ e a cotg(C) no triângulo abaixo.

$A$$B$$C$$15$$8$$17$

Solução

Cálculo da cossecante

Sabemos que a cossecante é a inversa do seno.

Já que o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, a cossecante é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.

$A$$B$$C$$15$$8$$17$

cossec(C)=hipotenusa cateto oposto=1715

Cálculo da secante

Sabemos que a secante é a inversa do cosseno.

Já que o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, a secante é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.

$A$$B$$C$$15$$8$$17$

$\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}$

Cálculo da cotangente

Sabemos que a cotangente é a inversa da tangente.

Já que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, a cossecante é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.

$A$$B$$C$$15$$8$$17$

cotg(C)=cateto adjacentecateto oposto=815