SENO, COSSENO DE ANGULOS COMPLEMENTARES

Queremos demonstrar que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar.

sen(θ)=cos(90∘−θ)

[Não acredito. Por favor, mostre-me um exemplo.]

sen(10∘)$\cos(80^\circ)$cosine, left parenthesis, 80, degree, right parenthesis

Vamos começar com um triângulo retângulo. Observe como os ângulos agudos são complementares, ou seja, somam 90$^\circ$degree.

$\theta$$90-\theta$

[Ajude-me! Por favor, decomponha isso pra mim!]

$^\circ$degree$^\circ$degree$^\circ$degree$^\circ$degree$^\circ$degree

$\theta$theta$^\circ$degree$\theta$theta$^\circ$degree

$^\circ$degree

Agora, aqui está a parte legal. Veja como o seno de um ângulo agudo

$\goldE \theta$$90-\theta$$l$$h$

descreve $\blueD{\text{exatamente a mesma razão}}$ que o cosseno do outro ângulo agudo?

$\theta$$\goldE{90-\theta}$$l$$h$$\cos(\goldE{90-\theta}) = \blueD{\dfrac{l}{h}}$

Incrível! Ambas as funções, sen(θ) e $\cos(90^\circ-\theta)$cosine, left parenthesis, 90, degree, minus, theta, right parenthesis, resultam exatamente na mesma razão entre os lados de um triângulo retângulo.

E pronto! Mostramos que sen(θ)=cos(90∘−θ).

Em outras palavras, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar.

Tecnicamente, somente mostramos isso para ângulos entre 0$^\circ$degree e 90$^\circ$degree. Para fazer nossa demonstração valor para todos os ângulos, precisaríamos ir além da trigonometria do triângulo retângulo até o mundo da trigonometria do círculo trigonométrico, mas este é um assunto para uma outra hora.

Cofunções

Você deve ter notado que as palavras seno e cosseno soam semelhantes. Isso porque elas são cofunções! A maneira como as cofunções funcionam é exatamente como você viu acima. Em geral, se $f$f e $g$g são cofunções, então

$f(\theta) = g(90^\circ-\theta)$f, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, 90, degree, minus, theta, right parenthesis

e

$g(\theta) = f(90^\circ-\theta)$g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 90, degree, minus, theta, right parenthesis.

Aqui está uma lista completa das cofunções trigonométricas básicas:

Cofunções
Seno e cosseno	sen(θ)=cos(90∘−θ)
	cos(θ)=sen(90∘−θ)
Tangente e cotangente	tan(θ)=cotg(90∘−θ)
	cotg(θ)=tan(90∘−θ)
Secante e cossecante	sec(θ)=cossec(90∘−θ)
	cossec(θ)=sec(90∘−θ)

Legal! Quem quer que tenha dado nome às funções trigonométricas deve ter tido um profundo entendimento das relações entre elas.